最短路径问题，最短路问题的全局最短路径

1，最短路问题的全局最短路径

求图中所有的最短路径可以采用Floyd-Warshall算法，算法时间复杂度为O(|V|^3)。如果图中有负权回路，可以采用Bellman-Ford算法，算法复杂度是O(|V||E|)。但Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，可用SPFA算法进行优化，SPFA算法是用队列进行的优化，优化后时间复杂度为O(k|E|)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2，由此可见该优化的效果十分显著。

最短路问题的全局最短路径

2，最短路径的解决方法

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法SPFA算法\Bellman-Ford算法Floyd算法\Floyd-Warshall算法Johnson算法A*算法所谓单源最短路径问题是指：已知图G=（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V到V中的每个结点的最短路径。首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。

最短路径的解决方法

3，最短路径算法问题

首先，源点是给定的，那么我要经过这三个点，必定经过这三个点的每一个点。这个路径一定是vs->va->vb->vc,然后，假定a,b,c己经确定，那么考虑其中的路径，vs->va，从s到a点，与bc无关，所以贪心取最短路p1，再考虑a->b，取最短路p2(从a到b的最短路)，再考虑b->c，取p3。这样，所得的p(min)=p1+p2+p3。注意只考虑了一种情况，而ijk的排列有3*2*1=6种，需要枚举6个的每一种情况。算法说明完成。现在来说明时间复杂度的问题。算法有两种实现方法，1.用dijstra算法，dijstra(u,v)为一函数，传出u，v之间的最短路，那么容易知道需要执行的为6*3=18次，是常数，时间复杂度O(n^2)2.bellman-ford算法，O(n^3)两个都行，还能优化。

dijkstra算法，a*算法和d*算法dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用open, close表方式，drew为了和下面要介绍的 a* 算法和 d* 算法表述一致，这里均采用open,close表的方式。大概过程：创建两个表，open, close。open表保存所有已生成而未考察的节点，closed表中记录已访问过的节点。1．访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入open组中等待检查。2．从open表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到close表中。3．遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到open表中。4．重复2，3，步。直到open表为空，或找到目标点。提高dijkstra搜索速度的方法很多，常用的有数据结构采用binary heap的方法，和用dijkstra从起始点和终点同时搜索的方法。a*（a-star)算法是一种启发式算法，是静态路网中求解最短路最有效的方法。公式表示为： f(n)=g(n)+h(n), 其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。如果估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。conditions of heuristicoptimistic (must be less than or equal to the real cost)as close to the real cost as possible主要搜索过程：创建两个表，open表保存所有已生成而未考察的节点，closed表中记录已访问过的节点。遍历当前节点的各个节点，将n节点放入close中，取n节点的子节点x,->算x的估价值->while(open!=null)从open表中取估价值f最小的节点n;if(n节点==目标节点) break;elseif(x in open) 比较两个x的估价值f //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( x的估价值小于open表的估价值 ) 更新open表中的估价值; //取最小路径的估价值if(x in close) 比较两个x的估价值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( x的估价值小于close表的估价值 ) 更新close表中的估价值; 把x节点放入open //取最小路径的估价值if(x not in both)求x的估价值; 并将x插入open表中; //还没有排序}将n节点插入close表中;按照估价值将open表中的节点排序; //实际上是比较open表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。}a*算法和dijistra算法的区别在于有无估价值，dijistra算法相当于a*算法中估价值为0的情况。动态路网，最短路算法 d*a* 在静态路网中非常有效（very efficient for static worlds），但不适于在动态路网，环境如权重等不断变化的动态环境下。 d*是动态a*（d-star,dynamic a*）卡内及梅隆机器人中心的stentz在1994和1995年两篇文章提出，主要用于机器人探路。是火星探测器采用的寻路算法。主要方法：1.先用dijstra算法从目标节点g向起始节点搜索。储存路网中目标点到各个节点的最短路和该位置到目标点的实际值h,k（k为所有变化h之中最小的值,当前为k=h。每个节点包含上一节点到目标点的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4（7）。则1到4的最短路为1-2-5-4。原open和close中节点信息保存。2.机器人沿最短路开始移动，在移动的下一节点没有变化时，无需计算，利用上一步dijstra计算出的最短路信息从出发点向后追述即可，当在y点探测到下一节点x状态发生改变，如堵塞。机器人首先调整自己在当前位置y到目标点g的实际值h(y)，h(y)=x到y的新权值c(x,y)+x的原实际值h(x).x为下一节点(到目标点方向y->x->g），y是当前点。k值取h值变化前后的最小。3.用a*或其它算法计算，这里假设用a*算法,遍历y的子节点，点放入close,调整y的子节点a的h值，h(a)=h(y)+y到子节点a的权重c(y,a),比较a点是否存在于open和close中，方法如下：while()从open表中取k值最小的节点y;遍历y的子节点a,计算a的h值 h(a)=h(y)+y到子节点a的权重c(y,a)if(a in open) 比较两个a的h值 if( a的h值小于open表a的h值 )有未受影响的最短路经存在break; }if(a in close) 比较两个a的h值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( a的h值小于close表的h值 ) 更新close表中a的h值; k值取最小的h值;将a节点放入open表有未受影响的最短路经存在break;}if(a not in both)将a插入open表中; //还没有排序}放y到close表；open表比较k值大小进行排序；}机器人利用第一步dijstra计算出的最短路信息从a点到目标点的最短路经进行。d*算法在动态环境中寻路非常有效，向目标点移动中，只检查最短路径上下一节点或临近节点的变化情况，如机器人寻路等情况。对于距离远的最短路径上发生的变化，则感觉不太适用。

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最短路径算法问题