正弦定理的证明，正弦定理的几种证明方法

本文目录一览

1，正弦定理的几种证明方法
2，正弦定理的证明过程
3，正弦定理证明角平分线定理
4，数学正弦定理证明如何证明
5，向量坐标法证明正弦定理
6，正弦定理证明
7，正弦定理与余弦定理的证明
8，如何用正弦定理证明sinAsinCsin平方B
9，正弦定理的证明方法

1，正弦定理的几种证明方法

为了对一个数学结论能够充分理解,必须明确它的原理,它的来龙去脉.只有这样才能真正地了解数学概念的内涵和外延,从而学好数学.正弦定理:在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,则a/sinA=b/sinB=c/sinC它的证明方法有很多种,本文列举六种,供同学们参考.

正弦定理的几种证明方法

2，正弦定理的证明过程

证明如下：在三角形的外接圆里证明。用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径)。角A=角D。得到：2RsinA=BC。同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB。这样就得到正弦定理了。正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。

正弦定理的证明过程

3，正弦定理证明角平分线定理

S1表示⊿ABD的面积S2表示⊿ADC的面积h表AC边上的高a表示BC边c表示AB边b表示BD边d表示AD边e表示DC边则有：S1=0.5dh(由底与高的积的一半得)=0.5bc（正弦定理得）S2=0.5eh(由底与高的积的一半得)=0.5ba（正弦定理得）S1:S2=0.5dh:0.5eh=0.5bc:0.5ba取后一个等号并约去相同因子：d:e=c:a即AD:DC=AB:BC

正弦定理证明角平分线定理

4，数学正弦定理证明如何证明

　　正弦定理证明方法方法1 　　用三角形外接圆　　证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 　　作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 　　类似可证其余两个等式。　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 　　正弦定理证明方法方法2 　　用直角三角形　　证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H 　　CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 　　同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 　　在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。　　正弦定理证明方法方法3 　　用三角形面积公式　　证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE 　　即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC 　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab 　　SINc^2=1-COSc^2 　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 　　得证　　正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC 　　证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便　　例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：　　2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径) 　　角A=角D 　　得到：2RsinA=BC 　　同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB 　　这样就得到正弦定理了

5，向量坐标法证明正弦定理

作单位向量j⊥ACj(AC+CB)=jABjAC+jCB=jABjCB=jAB|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)即|CB|sinC=|AB|sinAa/sinA=c/sinC其余边同理

过的顶点a作bc边上的高，垂足为d．（1）当d落在边bc上时，与的夹角为，与的夹角为，由于、在方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知即所以即（2）当d落在bc的延长线上时，同样可以证得．

6，正弦定理证明

步骤1. 　　在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H 　　 CH=a·sinB 　　CH=b·sinA 　　∴a·sinB=b·sinA 　　得到　　a/sinA=b/sinB 　　同理，在△ABC中，　　b/sinB=c/sinC 　　步骤2. 　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 　　作直径BD交⊙O于D. 　　连接DA. 　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 　　类似可证其余两个等式。

只要证a/sinA=b/sinB=c/sinC =2r(圆的半径）画图，再证a/sinA=2r（其实就是证a/2r=sinA,这是由直角三角形得出来的）同理得b/sinB=2r c/sinC =2r 即证a/sinA=b/sinB=c/sinC

7，正弦定理与余弦定理的证明

1.三角形的正弦定理证明：步骤1. 在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

8，如何用正弦定理证明sinAsinCsin平方B

由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC则b=asinB/sinA，b=csinB/sinC所以b2=acsin2B/(sinAsinC)因为b平方=ac 所以1=sin2B/(sinAsinC)所以sin2B=sinAsinC

正弦定理证明方法方法1:用三角形外接圆证明：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d. 连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。∴a/sina=b/sinb=c/sinc=2r方法2: 用直角三角形证明：在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinb ch=b·sina ∴a·sinb=b·sina 得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中， b/sinb=c/sinc ∴a/sina=b/sinb=c/sinc在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。方法3：用向量证明：记向量i ，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0 ∴a/sina =c/sinc (b与i垂直,i·b=0)方法4：用三角形面积公式证明：在△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作cd⊥ab垂足为点d，作be⊥ac垂足为点e，则cd=a·sinb，be= c sina,由三角形面积公式得：ab·cd=ac·be即c·a·sinb= b·c sina ∴a/sina=b/sinb 同理可得b/sinb=c/sinc∴a/sina=b/sinb=c/sinc

9，正弦定理的证明方法

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证

证明方法有四种：1、利用三角形高来证明正弦定理；2、利用三角形面积来证明正弦定理；3、向量法证明正弦定理；4、外接圆证明正弦定理；具体证明方面见下图：

原发布者:博览知天下正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有,。由此，得，同理可得，故有.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有，。由此，得，同理可得故有.由(1)(2)可知，在ABC中，成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即.1用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A，点B之间的距｜AB|，可测量角A与角B，需要定位点C，即：在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求边AC的长b解：过C作CDAB交AB于D，则推论：同理可证：2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB中,,∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC=.同理,可证S△ABC=.∴S△ABC=.∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以ABC,可得.即.3.向量法证明正弦定理(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到由分配律可得.B∴|j

你先画个图然后做3条高根据等积法做还可以做外接圆做直径根据圆周角相等 3条边就都能用R及角度的正弦值表示即可

一、在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H ，CH=a·sinB ，CH=b·sinA ，∴a·sinB=b·sinA ，得到a/sinA=b/sinB ，同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 二、证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R: 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度。因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 。类似可证其余两个等式。三、记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0，则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0接着得到正弦定理定义：正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、三个内角以及外接圆半径之间的关系。正弦定理(Sinetheorem)内容：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 意义：正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。也就是任意三角形的边角关系。扩展余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。余弦定理性质：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质--a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosCcosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)相关结论:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a