开集，拓扑学中的开集与区域中的开集是不是等同的

来源：整理时间：2022-09-20 05:30:13 编辑：济南本地生活手机版

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1，拓扑学中的开集与区域中的开集是不是等同的
2，开集的定义
3，证明开集的并集是开集
4，怎么区分开集闭集
5，数学开集的定义是什么任何一个属于集合的元素的邻域仍属于集合
6，为什么开集的定义里又有开集的概念这不是等于没有给出定义吗
7，集合的外部是开集
8，拓扑空间中的开集与数学分析中的开集是不是一个意思
9，开集闭集的例子

1，拓扑学中的开集与区域中的开集是不是等同的

是的

拓扑学中的开集与区域中的开集是不是等同的

2，开集的定义

“开集，是拓扑学里最基本的概念之一。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为球心的小球包含于A，则称A是度量空间X中的一个开集。满足x^2+y^2=r^2的点着蓝色。”

开集的定义

3，证明开集的并集是开集

开集就是所有点都是内点。并集的所有点同样还是内点。所以并集还是开集。

证明开集的并集是开集

4，怎么区分开集闭集

开集，是拓扑学里最基本的概念之一。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个开集。满足x^2+y^2=r^2的点着蓝色。在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，即A中每个点都是A的内点，则称A是度量空间X中的一个开集。用集合的语言来说就是：对任意x∈A，存在δ>0，使得B(x,δ)?A。还可以从另一个角度来定义开集，就是如果一个集合不含边界点（或没有边界点），这个集合就叫开集。即如果A∩?A=?，那么A是开集。可以证明这两个定义是等价的。假设X是一个集合，如果存在一系列X的子集合满足下面的条件，那么每个这样的子集就称为X的一个开集，X称为拓扑空间。（1）空集和X为开集；（2）有限多个开集之交为开集（无穷多个开集的交集未必是开集）；（3）任意多个开集之并为开集。

5，数学开集的定义是什么任何一个属于集合的元素的邻域仍属于集合

任何一个属于集合的元素的邻域仍属于集合，这个集合肯定是开集，但作为定义是不必要的。

6，为什么开集的定义里又有开集的概念这不是等于没有给出定义吗

空集是指没有任何元素的集合，全集是指所有元素的集合这个是他们的定义你给提出了是空集和全集的一些公有的特征，就好比维恩图中的那个公共部分，而他们又有各自的特性，因此他们不一样空集不是在任何集合中存在？任何集合不都是包含于全集的范围之内？为空集符合全集的一个特征全集比空集所包含的元素？元素也是一个特征记住，大千世界，都有共性，但是他们并不能互相等同，用他们自己独特的特征看待，你是一个找共同点的学生，这样很好，但是记住，有共同点，并不等价

7，集合的外部是开集

对任意一个外部中的点A,由定义,存在一个 r >0 ,在A的 r -邻域内,没有E中点,那么对此点的 r/4-邻域中的任意一个点B,B的r/4-邻域中都没有E中点.若否,设B的r/4-邻域中有E种点C,则C到A的距离 < C到B的距离 + B到A的距离 < r/2, 即C在A的r-邻域内.矛盾.所以B的领域内没有E的点,所以B是外部中的点.所以A的r/4的领域内全部是外部中点.由于A是外部中任意一点,知外部为开集.

8，拓扑空间中的开集与数学分析中的开集是不是一个意思

数学分析中的开集是n维实空间赋予通常的拓扑结构后的开集。换句话说，什么是拓扑空间？定义了满足一定性质的被称作开集的一类集合的空间就是拓扑空间。而n维实空间有着典型的拓扑结构，在这个拓扑结构下数学分析里的开集概念和拓扑里的开集是一样的。当然可以给n维实空间定义其他的拓扑结构，在这些拓扑结构下的开集会和数学分析中的开集很不一样。这种例子在类似于《基础拓扑学》的书里应该可以找到一些。

在数学中，开集的定义是：“若集合A包含的所有的点都是该集合的内点，则集合A为开集”。不论是分析，代数还是几何都是一样的。拓扑空间的话，可能里面对于距离的定义会是各种各样的，但是这并不影响开集的定义。

拓扑空间的开集是不定义的概念，犹如平面几何的点、直线是不定义的概念。因此有所谓“平庸的拓扑”，“离散的拓扑”.初学者感到抽象，不妨借助于数学分析的开集——为模型，犹如把光线当作直线的模型。数学分析的开集：集合中的每一个点都是内点，即它的充分小的邻域仍包含于这个集合.仅供参考。

9，开集闭集的例子

在点集拓扑中, 说一个集合是开集还是闭集之前要明确两件事情.其一是全空间是什么, 其二是全空间赋予了怎样的拓扑.实数集上有一个标准的拓扑, 整数集作为实数集的子集是一个闭集而不是开集.但整数集作为自身的子集是既开又闭的.旦弗测煌爻号诧铜超扩如果实数集赋予离散拓扑, 整数集作为实数集的子集也是既开又闭的.如果实数集赋予余有限拓扑, 整数集作为实数集的子集既不是开集也不是闭集.如果是在数学分析中遇到这个问题, 基本上是作为标准拓扑的实数集的子集来考虑.所以答案是闭集且不是开集.以数学分析中的判别就是: 聚点集(空集)是其子集, 所以是闭集.存在边界点(所有点都是), 所以不是开集.

在拓扑学中，在拓扑空间中的闭开集(Clopen set)是既是开集又是闭集的集合。例子 1.在任何拓扑空间 X 中，空集和整个空间 X 都是闭开集。 2.有些拓朴空间内有其他开闭集，如离散空间的任意子集都是闭开集。 3.考虑由两个区间 [0,1] 和 [2,3] 的并集构成的空间 X。在 X 上的拓扑从实直线 R 上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在 X 中，集合 [0,1] 和 [2,3] 都是闭开集。这是非常典型的例子: 只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。 4.不太常见的例子，考虑所有有理数的空间 Q 带有它们的正常拓扑，和平方大于 2 的所有正有理数的集合 A。利用 √2 不在 Q 中的事实，可以非常容易的证明 A 是 Q 的闭开子集。(还要注意 A 不是实直线 R 的闭开子集；它在 R 中既不是开集也不是闭集。)请采纳答案，支持我一下。

开集，拓扑学中的开集与区域中的开集是不是等同的

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2，开集的定义

3，证明开集的并集是开集

4，怎么区分开集闭集

5，数学开集的定义是什么任何一个属于集合的元素的邻域仍属于集合

6，为什么开集的定义里又有开集的概念这不是等于没有给出定义吗

7，集合的外部是开集

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9，开集闭集的例子

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6，为什么开集的定义里又有开集的概念这不是等于没有给出定义吗

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