函数连续性的定义，函数的连续性是什么意思

本文目录一览

1，函数的连续性是什么意思
2，函数的连续性

1，函数的连续性是什么意思

直观理解:函数图像连续。精确定义：limf(x) = f(x0) x->x0时，则称f在x0处连续。引入增量的概念后，连续的定义等价于 lim△y=0 △x->0时。(即x的变化很小时，y的变化为0）或者用ε-δ方式叙述：若对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有： |f(x)-f(x0)|<ε，则称f在x0处连续若f在区间I上任一点都满足上述定义，则称f在I上连续。

函数的连续性是什么意思

2，函数的连续性

判断函数的连续性，常规方法利用连续定义去证明行了。判断f(x)=√x的连续性当x→0时，很显然有：limf(x)=f(0)=0 所以： y=√x在点x=0处连续。如果是选择题或只用给出结论的题也可以用y=√x在点x=0的导数是否存在来判断，y=√x在点x=0的导数存在，则连续，否则不连续。附：一个重要的结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。（y=√x为初等函数，x=0在其定义域中，它是连续的）另一结论：函数在定义域内可导，该函数必定连续；但函数在定义域内连续，该函数就不一定可导连续的定义：定义设函数f(x) 在点x。的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量△x=x-x。趋于零时，对应的函数的增量△x=f(x-x。)-f(x。) 也趋于零，那么就称函数f(x) 在点x。连续．连续的定义又可叙述如下：设函数 f(x)在点x。的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x。时的极限存在，且等于它在点x。处的函数值f(x。) 即：当x→x。时，limf(x)=f(x。) 那么就称函数f(x)在点x。连续．

d(x)=1，x有理数；d(x)=0，x是无理数。很显然，对任意的x，可以找到一个有理点列xk和无理点列yk，趋于这个点。对应的函数值的极限分别是1和0，因此极限不存在，更不连续。r(p/q)=1/q，r(无理点)=0。只要证明了对任意的a，当x趋于a时，有limr(x)=0，则在无理点函数值=极限值，连续；在有理点，函数值不等于极限值，不连续。对任意的e>0，考虑集合e=(a--1，a+1)

函数的连续性